Mantık önermeler ve bileşik önermeler

Önerme

  • Doğru yada yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
  • Önermeler genelde p,q,r .. gibi küçük harfle gösterilir.
  • Önermenin doğruluk yada yanlışlığına önermenin doğruluk değeri denir.
  • Bir önerme doğru ise D veya 1 ile gösterilir.
  • Bir önerme yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir.
  • Bir p önermesi doğru ise p ≡ 1 , yanlış ise p ≡ 0 olarak ifade edilir.
  • "Osman zekidir." ifadesinde zeki olma ölçütü belli olmadığından önerme değildir.
  • "Osman"ın IQ'su 115'dir" ifadesi bir önermedir.
  • "Süleyman'ın arabası hızlıdır." ifadesinde hız ölçütü belli olmadığından önerme değildir.
  • "Süleyman'ın arabası saatte 250 km/sa hız yapabilmektedir." ifadesi bir önermedir.

Denk önerme : p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise bu iki önermelere denk önerme denir.p ≡ q şeklinde gösterilir ve p denktir q şeklinde okunur.

Bir önermenin değili (olumsuzu) : Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan önermeye o önermenin değili ( olumsuzu ) denir.Bir p önermesinin değili , pı veya ~p sembollerinden biri ile gösterilir.
0ı ≡ 1 , 1ı ≡ 0 , (pı)ı = p

  1. p : "Kömürün rengi siyahtır."
    p önermesi doğru bir önermedir.p ≡ 1 olur.
    pı="Kömürün rengi siyah değildir." pı ≡ 0 olur.
  2. q : "Demir bir metal değildir."
    q önermesi yanlış bir önermedir.q ≡ 0 olur.
    qı="Demir bir metaldir." qı ≡ 1 olur.

n tane farklı önermenin birlikte 2n tane farklı doğruluk durumu vardır.

Bileşik önermeler

  • "ve" , "veya" , "ya da" , "ise" , "ancak ve ancak" bağlaçlarına mantık bağlaçları denir.
  • En az iki önermenin mantık bağlaçları ile birbirine bağlanması ile oluşan önermelere bileşik önerme denir.

Veya ( V ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "veya" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p veya q önermesi denir.Bu önerme pVq şeklnde gösterilir.

pVq doğruluk tablosu
p q pVq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

pVq önermesi sadece p ve q önermeleri yanlış iken yanlış olur,diğer durumlarda doğrudur.

Ve ( ∧ ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "ve" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p ve q önermesi denir.Bu önerme p∧q şeklnde gösterilir.

p∧q doğruluk tablosu
p q p∧q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

p∧q önermesi sadece p ve q önermeleri doğru iken doğru olur,diğer durumlarda yanlıştır.

Özellikler

  1. Tek kuvvet özelliği
    Her p önermesi için p∧p ≡ p ve pVp ≡ p olur.
  2. Değişme özelliği
    Her p ve q önermesi için p∧q ≡ q∧p ve pVq ≡ qVp olur.
  3. Birleşme özelliği
    Her p , q ve r önermesi için (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r ve (pVq)Vr ≡ pV(qVr) olur.
  4. Dağılma özelliği
    • "ve"nin "veya" üzerine dağılma özelliği
      Her p , q ve r önermesi için p∧(qVr) ≡ (p∧q)V(p∧r) olur.
    • "veya"nın "ve" üzerine dağılma özelliği
      Her p , q ve r önermesi için pV(q∧r) ≡ (pVq)∧(pVr) olur.

Ya da ( ⊻ ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "ya da" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p ya da q önermesi denir.Bu önerme p⊻q şeklnde gösterilir.

p⊻q doğruluk tablosu
p q p⊻q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0

p⊻q önermesi önermelerin doğruluk değerleri aynı iken yanlış , farklı iken doğru olur.Özellikleri:
  • p⊻q ≡ q⊻p
  • p⊻1=pı
  • p⊻p=0
  • p⊻0=p

De Morgan kuralları

p ve q önermeleri için aşağıdaki denkliklere De Morgan kuralları denir.

  • (pVq)ı ≡ pı∧qı
  • (p∧q)ı ≡ pıVqı

Koşullu önerme

p ile q önermelerinin ise bağlacı ile bağlanması ile elde edilen önermeye koşullu önerme veya p ise q önermesi denir ve p⇒q şeklinde gösterilir.

p⇒q doğruluk tablosu
p q p⇒q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

p⇒q önermesinde 1.önerme doğru , 2. önerme yanlış olduğunda yanlış olur,diğer durumlarda ise doğrudur.

p ve q önermeleri için p⇒q önermesi ile pı V q önermesi denk olur.p ⇒ q ≡ pı V q

p ve q önermeleri ile oluşan p⇒q önermesinde

  • q⇒p önermesine p⇒q önermesinin karşıtı
  • pı⇒qı önermesine p⇒q önermesinin tersi
  • qı⇒pı önermesine p⇒q önermesinin karşıt tersi
denir.

İki yönlü koşullu önerme

p ile q önermelerinin ancak ve ancak bağlacı ile bağlanması ile elde edilen önermeye iki yöönlü koşullu önerme veya p ancak ve ancak q önermesi denir ve p⇔q şeklinde gösterilir.

p⇔q doğruluk tablosu
p q p⇔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

p⇔q önermesinde önermelerin doğruluk değerleri aynı ise doğru , diğer durumlarda yanlış olur.

p⇔q ≡ (p⇒q)∧(q⇒p) olur.

Her (∀) ve bazı (∃) niceliyecileri

İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir.

İçinde x gibi bir değişken olan bir açık önerme p(x) , x ve y gibi iki değişken olan bir açık önerme p(x,y) şeklinde gösterilir.

  • "Her" bütün,tamamı anlamındadır.Evrensel niceleyici olarak da bilinir ve sembolü ile gösterilir.
  • "Bazı" en az bir anlamındadır.Varlıksal niceleyici olarak da bilinir ve sembolü ile gösterilir.
  • [∀,p(x)]ı ≡ [∃,pı(x)] ,
  • [∃,p(x)]ı ≡ [∀,pı(x)] olur.

Tanım,aksiyon,teorem ve ispat

  • Bir terimi anlamları daha önceden bilinen terimler yardımı ile ifade etmeye tanım denir.
  • Teorem ispatında öncül olan,doğruluğu açıkça belli olan ve bu yüzden ispatına gerek olmayan önermelere aksiyom denir.
  • Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir.
  • Bir teoremin verilen kısmına hipotez ( varsayım ) denir.
  • Bir teoremin verilen ispatlanacak kısmına hüküm ( yargı ) denir.
  • Bir teoremin hipotezinde hareketle hükmünün doğru olduğunu göstermeye teoremi ispatlamak denir.
  • p⇒q bir teorem ise p hipotez , q ise hüküm olur.

İlgilenebileceğiniz bazı sayfalar

Mantık , 9. sınıf önerme soruları , 9. sınıf önerme testi ,
Çözüm yayınları , Martı okul yayınları , Çözüm eğitim kurumları