Pascal üçgeni

x,y ∈ R - {0} olmak üzere n ∈ N olmak üzere x + y ifadesinin kuvvetleri alınırsa aşağıdaki gibi olur.

• (x+y)^o = 1
• (x+y)¹ = 1.x + 1.y
• (x+y)² = 1.x² + 2.xy + 1.y²
• (x+y)³ = 1.x³ + 3.x²y + 3.xy² + 1.y³
• ...
• ...
• (x+y)ⁿ = ().xⁿ.y⁰ + ().x^n-1.y¹+ .... + ().x⁰.yⁿ

Pascal üçgeninde bir satırdaki sayıların toplamı eleman sayısı satır numarasının 1 eksiği olan kümenin alt küme sayısını verir.

• 1. satır A = {} kümesi için s(A) = 0 ve alt küme sayısı 2⁰ = 1 olur.
• 2. satır A = {a} kümesi için s(A) = 1 ve alt küme sayısı 2¹ = 2 olur.
• 3. satır A = {a,b} kümesi için s(A) = 2 ve alt küme sayısı 2² = a olur.

Pascal üçgeninin bir n. satırının r. sırasındaki sayı ile (r+1). sayı toplanırsa , (n+1). satırın (r+1). sırasındaki sayı elde edilir.
() + () = ()

Örnek olarak yukarıdaki Pascal üçgeninde üç satırda toplanacak iki sayının hangi sayıyı verdiği kırmızı ile işaretlenmiştir.
3. satırın 2 ve 3. sırasındaki toplanırsa 4.satırın 3.sırasındaki sayı elde edilir.2 + 1 = 3

Binom açılımı

x,y ∈ R ile n,r ∈ N ve r ≤ n olmak üzere
(x+y)ⁿ = ().xⁿ.y⁰ + ().x^n-1.y¹+ .... + ().x⁰.yⁿ olur.
Binom teoremindeki yukarıdaki katsayılar Pascal üçgeninin (n+1). satırındaki katsayılarıdır.
Katsayı sayısı (n+1) tanedir.

Özellikler

1. (x+y)ⁿ ifadesinin açılımında terim sayısı (n+1) tanedir.
2. (x+y)ⁿ ifadesinin açılımında x ve y 1 olursa katsayı toplamı 2ⁿ olur.
3. (x+y)ⁿ ifadesinin açılımında sabit terim bulunurken c ve y 0 alınır.( tanımsızlık yoksa )
4. (x+y)ⁿ ifadesinin açılımında her terimdeki x ve y nin üssleri toplamı n ye eşittir.
5. n ∈ N olmak üzere (x+y)²ⁿ ifadesinin açılımında ortadaki terin ().xⁿ.yⁿ olur.
6. (x+y)ⁿ ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan (r+1). terim .x^n-r.y^r olur

(2x-y)³ ifadesinin açılımı nedir?

• ().(2x)³.(-y)⁰ + ().(2x)².(-y)¹ + ().(2x)¹.(-y)² + ().(2x)⁰.(-y)³
• 1.8x³.1 - 3.4x².y + 3.2x.y² - 1.1.y³ olur.
• 8x³ - 3.4x².y + 3.2x.y² - y³ olur.

(x+3y)¹⁰ ifadesinin açılımındaki terim sayısı kaçtır?
Yukarıdaki 1. özelliğe göre n = 10 olduğundan 10 + 1 ile cevap 11 olarak bulunur.

(3x - 4y + 3)⁵ ifadesinin açılımındaki katsayı toplamı ve sabit terim kaçtır?
Yukarıdaki 2. özelliğe göre x ve y yerine 1 konursa (3.1 - 4.1 + 3)⁵ den 2⁵ = 32 olur.
Yukarıdaki 3. özelliğe göre x ve y yerine 0 konursa (3.0 - 4.0 + 3)⁵ den 3⁵ = 243 olur.