Sanal sayı birimi

Gerçek sayı olmayan ve karesi -1 e eşit olan sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. i = ve i² = -1 olur.
= = = 2i olur.

Sanal sayı biriminin kuvvetleri

• n , k ∈ Z olmak üzere
• n = 4k ise iⁿ = 1 ( Yani n 4 ile bölünebiliyorsa sonuç 1 olur.)
• n = 4k + 1 ise iⁿ = i ( n nin 4 ile bölümünde kalan 1 ise sonuç i olur.)
• n = 4k + 2 ise iⁿ = -1 ( n nin 4 ile bölümünde kalan 2 ise sonuç -1 olur.)
• n = 4k + 3 ise iⁿ = -i ( n nin 4 ile bölümünde kalan 3 ise sonuç -i olur.)

Karmaşık sayı

a,b ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere
z = a + ib şeklindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
a sayısına karmaşık sayının gerçek kısmı denir ve Re(z) = a şeklinde gösterilir.
b sayısına karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve Im(z) = b şeklinde gösterilir.

Bütün gerçek sayılar aynı zamanda karmaşık sayıdır.

İki karmaşık sayı eşit ise sayıların gerçek ve sanal kısımları birbirine eşittir.
z₁ = 3 - xi , z₂ = y + 7i olduğuna göre x + y kaçtır?
y = 3 ve -x = 7 den x = -7 olur.
(-7) + 3 ile cevap -4 olur.

a,b ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere z = a + ib karmaşık sayısı verildiğinde a + i(-b) sayısına z sayısının eşleniği denir ve ile gösterilir. = a - ib olur.

Karmaşık sayılarda işlemler

a) Toplama çıkarma işlemleri
Karmaşık sayılarla toplama çıkarmada gerçek kısımlar gerçek kısımlarla , sanal kısımlar da sanal kısımlarla toplanır veya çıkarılır.

i² = -1 olmak üzere z₁ = 4 + 9i ve z₂ = 2 + 3i ise z₁ + z₂ ve z₁ - z₂ sonucu nedir? (4+2) + i(9+3) ile z₁ + z₂ = 6 + 12i olur.
(4-2) + i(9-3) ile z₁ - z₂ = 2 + 6i olur.

b) Çarpma işlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işleminde çarpmanın toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği kullanılır.

• a,b,c,d ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere z₁ = a + ib ve z₂ = c + id ise
• (a + ib).(c + id)
• a.c + a.id + ib.c + ib.id
• a.c + (a.d + b.c)i + i²(b.d)
• (a.c - b.d) + (a.d + b.c)i olur.

c)Bölme işlemi
a,b,c,d ∈ R ve i sanal sayı birimi olmak üzere z₁ = a + ib ve z₂ = c + id ise
, z₂ ≠ 0 işlemi kesrin karmaşık sayısı kullanılarak genişletilmesi ile yapılır.
= = olur.

Karmaşık sayılarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümü

a² + bx + c = 0 denkleminde ∆ = b² - 4ac < 0 ise denklemin karmaşık sayılara kümesinde çözümü vardır.Denklemin kökleri x₁ = veya x₂ = olur.

x² + x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

• a = 1 , b = 1 ve c = 2 olduğundan ∆ = 1 - 4.1.2 den ∆ = -7 olur.
• x₁ = =
• x₂ = =