Polinom temel kavramları

a₀ , a₁ ...... a_n-1 , a_n gerçek sayılar , a_n ≠ 0 , x değişken ve n ∈ N olmak üzere P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... a₂x² + a₁x + a₀ şeklindeki ifadelere bir değişkenli gerçek katsayılı n.dereceden bir polinom (çok terimli) denir.

• a_nxⁿ , a_n-1x^n-1 , .... a₂x² , a₁x , a₀ ifadelerine polinomun terimleri denir.
• a_n , a_n-1 .... a₂ , a₁ , a₀ gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
• Değişkenin üssü en büyük olan terimin üssüne polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.
• Değişkenin üssü en büyük olan terimin katsayısına polinomun katsayısı denir.
• Değişken bulundurmayan terime polinomun sabit terimi denir.

• f(x) = 3x - 1 fonksiyonunda x in üssü 1 doğal sayı olduğundan f(x) fonksiyonu polinomdur.
• g(x) = -1 fonksiyonu -1x⁰ olarak da yazılabileceği ve x in üssü 0 doğal sayı olduğundan g(x) fonksiyonu polinomdur.
• h(x) = + 1 fonksiyonu x^1/2 + 1 olarak da yazılabileceği ve x in üssü doğal sayı olmadığından h(x) fonksiyonu polinom değildir.

Bir polinomun sabit terimini bulmak için değişken yerine sıfır yazılır.

P(x+1) = 5x² + 3x - 2 olduğuna göre P(2x+1) polinomunun sabit terimi kaçtır?
P(2x+1) de x = 0 için P(2x+1) = P(1) olur.
P(x+1) de P(1) için x = 0 olmalıdır.
x yerine 0 yazılırsa P(1) = -2 olarak bulunur.

a_n = a_n-1 = ...... = a₂ = a₁ = 0 ve a₀ ≠ 0 olmak üzere
P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... a₂x² + a₁x + a₀ polinomuna sabit polinom denir ve P(x) = a₀ şeklinde gösterilir.Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

P(x) = (a-1)x³ + (b-2a)x + 5 sabit polinom ise a+b kaçtır?
Sabit polinom olduğundan değişkenlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
a - 1 = 0 dan a = 1 olur.
b - 2.1 = 0 dan b = 2 olur.Cevap 2 + 1 = 3 dür.

a_n = a_n-1 = ...... = a₂ = a₁ = a₀ = 0 olmak üzere
P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... a₂x² + a₁x + a₀ polinomuna yani tüm terimleri sıfır olan sıfır polinom denir ve P(x) = 0 şeklinde gösterilir.Sabit polinomun derecesi belirsizdir.

Dereceleri eşit olan iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu iki polinoma eşit polinomlar denir.

P(x) = (n-2)x² + 4x ve Q(x) = 3x² + (m+1)x polinomlarında P(x) = Q(x) olduğuna göre m + n kaçtır?
n - 2 = 3 den n = 5 olur.
m + 1 = 4 den m = 3 olur.5 + 3 ile cevap 8 olur.

Bir P polinomu birden fazla değişken içeriyorsa bu tür polinomlara çok değişkenli polinom denir.P(x,y,...) şeklinde gösterilir.

Çok değişkenli polinomların derecesi terimlerin derecelerinden en büyük olanıdır.Terim derecesi değişkenlerin kuvvetlerinin toplamı ile bulunur.
P(x,y) = 3x²y⁵ + 2x³y³ + 2 polinomunda ilk terimin kuvvetleri toplamı 2 + 5 ile 7 olur.En büyük derece bu olduğundan polinomunda derecesi 7 dir.

Polinomlarda işlemler

Polinomlar toplanıp çıkarılırken sadece aynı dereceli terimler (benzer terim) kendi aralarında toplanır çıkarılır.İşlem sonunda elde edilen polinomun derecesi işleme alınan polinomlardan derecesi büyük olana eşittir.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5 , Q(x) = x² - 1 polinomları verilmiştir. P(x) + Q(x) ifadesin bulunuz ?
2x³ + 3x² + 5 + x² - 1 ifadesinde benzer terimler işleme alınırsa 2x³ + 4x² + 4 olur.

İki polinom çarpılırken ilk polinomun her bir terimi diğer polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpılır.Elde edilen polinomda aynı dereceli terimler toplanır.

• der[P(x)] = n , der[Q(x)] = m olsun.
• der[P(x).Q(x)] = n + m olur.
• der[P(x)] = n ise P(x) = xⁿ alınabilir.Bu durumda P^k(x) = (xⁿ)^k = x^n.k ve P(x^k) = (x^k)ⁿ = x^n.k olduğundan
  der[P^k(x)] = der[P(x^k)] = n.k olur.
• der{P[Q(x)]} = m.n olur.

P(x) polinomunun derecesi 4 , Q(x) polinomunun derecesi 5 olduğuna göre P(x³).Q²(x) polinomunun derecesi kaçtır?
P(x) = x⁴ , Q(x) = x⁵ seçilebilir.
P(x³) = (x⁴)³ = x¹² olur.
Q²(x) = x⁵.x⁵ =x¹⁰ olur.
P(x³).Q²(x) = x¹².x¹⁰ = x²² olduğundan cevap 22 olarak bulunur.

P(x) ve Q(x) birer polinom , Q(x) ≠ 0 ve der[P(x)] ≥ der[Q(x)] olmak üzere

• der[K(x)] < der[Q(x)]
• K(x) = 0 ise P(x) , Q(x) e tam bölünür.
• der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n ise der[] = m - n

Bölme işlemi yapılırken bölünenin derecesi en büyük terimi bölenin en büyük dereceli terimine bölünür.Bulunan bölen ile çarpılıp bölünenin bir altına yazılır.Bu işlem yapılamayana kadar işlem devam eder.Aşağıda bir örnek bulunmaktadır.

Bir P(x) polinomu ax + b ile tam bölünüyorsa P(- ) = 0 olur.Bu durumda ax + b , P(x) polinomunun bir çarpanıdır.
Bir P(x) polinomu ax + b ile bölündüğünde K = P(- ) = 0 ise x = - , P(x) = 0 denkleminin sıfırı (kökü) olur.

P(x) = 3x² + ax + 2 polinomunun x - 1 ile bölümünde kalan 10 olduğuna göre a kaçtır?
x - 1 = 0 → x = 1 olduğundan polinomun x - 1 ile bölümünde kalan P(1) = 10 olur.
P(1) = 3.1 + a.1 + 2 = 10 dan a = 5 olarak bulunur.

Polinomların çarpanlara ayrılması

P(x) , A(x) ve B(x) birer polinom olmak üzere P(x) = A(x).B(x) şeklinde yazılabiliyorsa A(x) ve B(x) polinomları P(x) polinomunun birer çarpanıdır.
P(x) polinomu sabit polinomdan farklı iki veya daha fazla polinomun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa çarpanlarına ayrılabilen polinom (indirgenebilir polinom) , aksi halde ise çarpanlarına ayrılamayan polinom (indirgenemeyen polinom) denir.
Başkatsayısı 1 olan indirgenemeyen polinoma asal polinom denir.

• P(x) = x³ - 3x² + 5x - 1 polinomu P(x) = ( x²+5).(x-3) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
• P(x) = 3x - 5 ve Q(x) = 3x² + 1 polinomları çarpanlarına ayrılamayan polinomlardır.
• P(x) = x² + 6 ve Q(x) = x + 5 polinomlarının başkatsayıları 1 ve indirgenemeyen polinom olduklarından asal polinomlardır.