A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere AxB = { (x,y); x ∈ A,y ∈ B} kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesine A dan B ye bir bağıntı denir.Bağıntılar genelde α , β , f , g , h sembolleri ile gösterilir.
A dan B ye tanımlanan f bağıntısı aşağıdaki iki koşulu sağlarsa bir fonksiyon olur.

1. A kümesinde eşleşmemiş eleman kalmamalıdır.
2. A kümesindeki herhangi bir eleman , B kümesinde bir yalnız bir eleman ile eşleşmelidir.

Her fonksiyon bir bağıntıdır ama her bağıntı bir fonksiyon olmayabilir.

A = {1,2,3,4} kümesinden B = {a,b,c,d,e} kümesine tanımlanan aşağıdaki bağıntıların fonksiyon olma durumunu tespit edin.

1. β₁ = {(1,b),(2,e),(3,a),(4,d)}
2. β₂ = {(1,e),(2,d),(3,a)}
3. β₃ = {(1,a),(2,e),(1,b),(4,d)}

• 1. bağıntıda A kümesindeki tüm elemanlar B kümesinden yalnız bir elemanla eşleştiğinden β₁ bir fonksiyondur.
• 2. bağıntıda A kümesindeki 4 , B kümesinden bir elemanla eşleşmediğinden β₂ fonksiyon değildir.
• 3. bağıntıda A kümesindeki 1 , B kümesinden iki elemanla eşleşmediğinden β₃ fonksiyon değildir.

Yukarıdaki A kümesindeki her eleman B kümesinden yalnız bir elemanla eşleştiğinden f bağıntısı bir fonksiyondur.

Yukarıdaki A kümesindeki a elemanı B kümesinden iki elemanla eşleştiğinden g bağıntısı bir fonksiyon değildir.

Yukarıdaki A kümesindeki her eleman B kümesinden yalnız bir elemanla eşleştiğinden h bağıntısı bir fonksiyondur.

f fonksiyonu tanımlı olduğu değerlerde y = f(x) = 2x + 3 olduğuna göre f(3) = 2.3 + 3 den 6 + 3 ile 9 olarak bulunur.

f:N → N,f(x) = bağıntısında bazı doğal sayılarda ( 1 , 3 gibi ) bulunan doğal sayı olmadığından bağıntı bir fonksiyon değildir.

f(3x-1) = 3x² + 1 fonksiyonundan f(5) değeri kaçtır?
3x - 1 = 5 den 3x = 6 ve x = 2 olur.
3.2² + 1 den 3.4 + 1 ve f(5) = 13 olarak bulunur.

Fonksiyon çeşitleri

f : A → B fonksiyonunun değer kümesinde boşta eleman kalıyorsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.

f : A → B fonksiyonunun tanım kümesinin elemanları değer kümesinin tüm elemanları ile eşleşiyorsa f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

f: Z → Z, f(x) = 2x fonksiyonu örten fonksiyon mudur?
Fonksiyonda x yerine hangi tamsayı yazılırsa yazılsın onun 2 katı da bir tam sayı olacaktır.Bu yüzden fonksiyonun değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olduğundan fonksiyon örtendir.

f: A → B fonksiyonunda tanım kümesindeki (A kümesi) elemanların her biri değer kümesindeki farklı bir elemanla eşleşiyorsa f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir.

• Her x₁ , x₂ ∈ A için x₁ ≠ x₂ iken f(x₁) ≠ f(x₂) veya
• Her x₁ , x₂ ∈ A için f(x₁) = f(x₂) iken x₁ = x₂ oluyorsa f fonksiyonu bire bire fonksiyondur.

f: A → B fonksiyonunda tanım kümesindeki (A kümesi) her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim (özdeşlik) fonksiyonu denir.f(x) = I(x) = x şeklinde gösterilir

f: A → B fonksiyonunda tanım kümesindeki tüm elemanlar değer kümesinde bulunan yalnız bir eleman ile eşleşiyorsa fonksiyona sabit fonksiyon denir.c ∈ B olmak üzere f(x) = c şeklinde gösterilir.
Görüntü kümesinin eleman sayı 1 olan fonksiyondur.

Tanımlı olduğu durumlarda f(x) = fonksiyonu sabit fonksiyon ise olur.

f: R → R ve a,b ∈ R olmak üzere f(x) = ax + b şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
Bu fonksiyonun görüntü kümeleri analitik düzlemde doğru belirtir.

f: R → R bir doğrusal fonksiyon olmak üzere f(2) = 7 ve f(7) = 22 olduğuna göre f(1) kaçtır?

• f doğrusal fonksiyon olduğundan ax + b şeklinde olduğundan aşağıdaki denklemler yazılabilir.
• 2a + b = 7
• 7a + b = 22
• İlki -1 ile çarpılır ve taraf tarafa toplanırsa 5a = 15 den a = 3 olur.
• 2a + b = 7 de a yerine 3 yazarsak 2.3 + b = 7 den b = 1 bulunur.
• f(x) = 3x + 1 olduğundan f(1) = 3.1 + 1 den f(1) = 4 olur.

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir.
A ⊆ R , f:A → R ve c ∈ A olmak üzere şeklinde yazılır.

f: R → R tanımlı bir f fonksiyonu olmak üzere ∀x ∈ R için f(-x) ) = f(x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
f: R → R tanımlı bir f fonksiyonu olmak üzere ∀x ∈ R için f(-x) ) = -f(x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

f: R → R tanımlı olmak üzere f(x) = 2x² fonksiyonu çift fonksiyon mudur?
x yerine -x yazarsak 2(-x)² = 2x² olduğundan fonksiyon çift fonksiyondur.

f: A → B ve g: A → B iki fonksiyon olmak üzere ∀ x ∈ A için f(x) = g(x) oluyorsa bu fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir.

Fonksiyonlarda cebirsel işlemler

f:A → B,g:B → R iki fonksiyon ve A ∩ B ≠ ∅ olsun.

• f+g:(A∩B) → R , (f+g)(x) = f(x) + g(x)
• f-g:(A∩B) → R , (f-g)(x) = f(x) - g(x)
• f.g:(A∩B) →R , (f.g)(x) = f(x) . g(x)
• :(A∩B) → R , ()(x) = ( g(x) ≠ 0 )

Fonksiyonlarda grafik çizimi

f:A → B , y = f(x) fonksiyonuna ait bütün noktaların koordinat sisteminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonun grafiği denir.
Bu grafik çizilirken tanım kümesinin elemanları ( A kümesi ) yatay (x) eksende , değer kümesinin elemanları ise düşey eksende (y) gösterilir.
f:R → R , f(x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafikleri çizilirken en az iki x değeri için f(x) değerleri bulunur.Bulunan (x,f(x)) noktaları koorddinat sisteminde işaretlenir.İki noktanın birleştirilmesi ile oluşan doğru fonksiyonun grafiğidir.

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre , çift fonksiyonların grafikleri ise y eksenine göre simetriktir.

f(x) = fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

f(x) = x² fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

f(x) = x³ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

Fonksiyon grafiği çizmek için grafik çizme sayfasını kullanabilirsiniz.

Fonksiyon grafiklerini yorumlama

Fonksiyon grafiği üzerindeki her noktadan y eksenine paralel çizilen doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonun tanım kümesini , x eksenine paralel çizilen doğruların y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonun görüntü kümesini verir.

Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini nedir?
Grafiğin iki ucundan y eksenine çizilen paralel doğruların x ekseninde kestiği noktalar tanım kümesi olduğundan [-6,5] tanım kümesi olur.
[-4,5] ise görüntü kümesidir.

f:A → B , y = f(x) fonksiyonunda x in f altındaki görüntüsü y , y nin ters görüntüsü x tir.

f:R → R ve f(x) = x³ - 2 fonksiyonu verilsin.Buna göre y = f(x) fonksiyonunun [-10,25] aralığındaki ters görüntüsü nedir?

• f(x) ∈ [-10,25] olduğundan -10 ≤ f(x) ≤ 25 olur.
• -10 ≤ x² - 2 ≤ 25 olur.
• -8 ≤ x² ≤ 27 olur.
• -2 ≤ x ≤ 3 olur.
• [-10,25] aralığındaki ters görüntü [-2,3] olur.

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için tanım aralığının her noktasından y eksenine paralel doğrular çizilir.Çizilen doğrular grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur.Diğer durumlarda bu bağıntı fonksiyon değildir.
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için uygulanan bu teste düşey (dikey) doğru testi denir.

Grafiği verilen bir f fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar y = f(x) = 0 denkleminin kökleridir.Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin üzerinde kalıyorsa bu aralık f(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin altında kalıyorsa bu aralık f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.

İki fonksiyonun bileşkesi ve bir fonksiyonun tersi

Grafiği verilen bir f(x) fonksiyonunun bire bir veya örten olup olmadığını belirlemek için değer aralığının her noktasından x eksenine paralel doğrular çizilir.Çizilen doğrular foksiyonun grafiğini en az bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon örtendir.Çizilen paralel doğrular fonksiyonun grafiğini yalnız bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon bire birdir.x eksenine paralel doğrular çizilerek yapılan bu işleme yatay doğru testi denir.

Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun bire bir ve örten olma durumları nedir?
Aşağıda görüldüğü gibi x eksenine çizilen paralel doğrular yalnız bir noktada grafiği kestiğinden bu fonksiyon bire birdir.
Paralel doğrular değer kümesinin her noktasında fonksiyonu kestiğinden fonksiyon örtendir.

f:A → B örten ve g:B → C fonksiyoları verilsin.A nın elemanlarını f ve g fonksiyonlarıyla C nin elemanları ile eşleyen fonksiyona bileşke fonksiyonu denir.
∀x ∈ A için h(x) = g[f(x)] şeklinde tanımlanan h: A → C fonksiyonuna f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir ve h = g0f ile gösterilir.
Bileşke fonksiyonlarda işlemler sağdan sola doğru yapılır.

f = { (1,b) , (2,c) , (3,a) } , g = { (a,6) , (b,5) , (c,4) } foksiyonlarına göre g0f bileşke fonksiyonu nedir?

f ve g fonksiyonları Venn şeması üzerinde yukarıdaki gibi gösterilirse g0f = { (1,5) , (2,4) , (3,6) } olur.

Bileşke fonksiyon özellikleri

1. Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur , g0f ≠ f0g
2. Bir fo fonksiyonunun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisine eşittir.I0f = f0I = f
3. Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.f0g0h = (f0g)0h = f0(g0h) olur.

f:A → B fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere her x ∈ A veya y ∈ B için (g0f)(x) = x veya (f0g)(y) = y eşitliklerini sağlayan g:B → A fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir , g = f^-1 şeklinde gösterilir.
f:A → B ise f^-1:B → A
y = f(x) ise x = f^-1(y) olur.
(x,y) ∈ f ise (y,x) ∈ f^-1 olur.

A = {1,2,3,4} , B = {5,6,7,8} olmak üzere f:A → B f = { (1,8) , (2,7) , (3,5) , (4,6) } fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan f fonksiyonun tersi f^-1 = { (8,1) , (7,2) , (5,3) , (6,4) } olur.

Ters fonksiyon özellikleri

1. Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir. f0f^-1 = I veya f^-10f = I olur.
2. (f0g)^-1(x) = ( g^-10f^-1)(x) olur.
3. (f^-1)^-1(x) = f(x) olur.

y = f(x) fonksiyonun grafiği ile y = f^-1(x) fonksiyonunun grafiği analitik düzlemde y = x doğrusuna göre simetriktir.

f:R → R , f(x) = 3x + 3 fonksiyonu ile f^-1(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.