Bir sayının hangi pozitif sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir.Karekökün sembolü √ işaretidir.

Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare pozitif sayılar denir.

Karekök alma işleminde sayı asal çarpanlara ayrılır.Eğer çarpanlar üsleri 2 olacak şekilde yazılabilirse sayı tam karedir.

Yukarıdaki gibi asal çarpanlarına ayrılmış 36 sayısı 2².3² yazılabilir.
2².3² = (2.3)² = 6² olduğundan 36 nın karekökü 6 olarak bulunur.

Yukarıdaki gibi asal çarpanlarına ayrılmış 225 sayısı 3².5² yazılabilir.
3².5² = (3.5)² = 15² olduğundan 225 in karekökü 15 olarak bulunur.

Karekökü anlamada karenin alan ve kenar arasındaki ilişkisinden yararlanılabilinir.

Tam kare olmayan kareköklü sayının hangi iki doğal sayı arasında bulunduğunu hesaplamada birimkareden yararlanılabilinir.

Yukarıdaki şekilde görüleceği gibi 17 den küçük ilk tam kare pozitif tam sayı 16 , büyük olan ise 25 olduğundan sayısı 4 ile 5 sayıları arasındadır.

İrrasyonel sayılar

Eğer bir sayı iki tam sayının oranı şeklinde yani rasyonel sayı şeklinde yazılamıyorsa bu sayı irrasyonel sayıdır.Örnekler

1. örnek -5 sayısı şeklinde yazılabileceğinden irrasyonel sayı değildir.
2. örnek 7,2 sayısı şeklinde yazılabileceğinden irrasyonel sayı değildir.
3. örnek 8, devirli sayısı şeklinde yazılabileceğinden irrasyonel sayı değildir.
4. örnek 5,0240357.... şeklinde kesir kısmı düzensiz şekilde devam eden sayı bir irrasyonel sayıdır.
5. örnek sayısı bir irrasyonel sayıdır.

Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonel olduğundan dolayı , bu sayılarda gerçek sayılardır.

Gerçek sayılar

Tam sayılar , rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların hepsinin oluşturduğu kümeye gerçek sayılar kümesi denir.

Her doğal sayı aynı zamanda tam sayıdır.Her tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır.

𝜋 sayısı (pi sayısı) 22 nin 7 ye bölümünün sonucudur.Bu sayı 3,14285714.. şeklinde kesir kısmı devretmeyen , düzensiz devam ettiğinden irrasyonel bir sayıdır.

Katsayılı karekök

a kareköklü ifadesinde a sayısı kareköklü ifadenin katsayısıdır.

Katsayılı bir kareköklü ifade katsayının karesi alınıp karekök içine çarpan olarak alınarak katsayı karekök içine alınabilir.

1. örnek 3 kareköklü ifadesinde 3² = 9 olduğundan ifade olur.Kök içindeki çarpma işlemi yapılırsa olur.
2. örnek 7 kareköklü ifadesinde 7² = 49 olduğundan ifade olur.Kök içindeki çarpma işlemi yapılırsa olur.

Yukarıdaki işlemin tersi olarak kök içindeki sayının tam kare sayı çarpanı varsa bu ifade katsayılı şekilde yazılabilir.Örnekler

1. örnek = olur. 9 un karekökü 3 olduğunda 3 olur.
2. örnek = olur. 36 nın karekökü 6 olduğunda 6 olur.

Karekökle çarpma bölme

Kareköklü ifadelerle çarpma bölme yaparken katsayılar ve karekök içindeki sayılar kendi aralarında işleme alınır.Yani katsayılar çarpılır veya bölünür , karekök içindekiler çarpılır veya bölünür.Örnekler

1. örnek . = olur.Kök içi çarpma yapılırsa sonuç olur.
2. örnek 3.2 = (3.2) olur.Çarpma işlemleri yapılırsa sonuç 6 olur.
3. örnek = olur. Kök içindeki bölme işlemi yapılırsa olur.
4. örnek = olur.Bölme işlemleri yapılırsa cevap 4 olarak bulunur.

Karekökle toplama çıkarma

Kareköklü ifadelerle toplama çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gereklidir.Eğer aynı ise kareköklerin katsayıları toplanır veya çıkarılır ve kök içi olduğu gibi yazılır.Örnekler

1. örnek 8 - 2 = (8 - 2) olur. Çıkarma işlemi yapılırsa sonuç 6 olur.
2. örnek + 2 = (1 + 2) olur. Toplama işlemi yapılırsa sonuç 3 olur.

Eğer kök içindeki ifadeler aynı değilse o zaman kök içindeki sayılar arasında tam kare çarpan olup olmadığına bakılır.Tam kare çarpan varsa bunlar kök dışına çıkarılıp kök içindekilerin aynı olması sağlanabilir.

+ işleminde kök içleri aynı değildir.Ama tam kare sayı olan 9 18 in bir çarpanı olduğundan yerine ve 3 yazılabilir.
Bu durumda işlem + 3 den 4 olur.

Karekökle çarpıldığında doğal sayı olan çarpanlar

İki kareköklü ifade çarpıldığında çarpım sonucu doğal sayı olabilir.Çünkü karekök içindeki sayıların çarpım sonucu tam kare sayılar olursa bu sayılar kareköksüz olarak ifade edilebilir.Örnekler

1. örnek . işleminin sonucu dür.100 tam kare olduğundan bu ifadede 10 a eşittir.
2. örnek . işleminin sonucu ddir.81 tam kare olduundan bu ifadede 9 a eşittir.

Ondalık gösterimlerin karekökünü belirleme

Karekök içinde ondalık gösterimlerin kareköklerini belirmek için ondalık gösterimler rasyonel sayı şeklinde yazılmalıdır.Bundan sonra pay veya payda da tamkare sayı varsa onların karekökleri belirlenir.Örnekler

1. örnek = olur.Pay ve payda tam kare sayılar olduğundan olur ve 2 ile sadeleşirse olur.
2. örnek = olur.Pay ve paydada tamkare sayılar olduğundan olur ve 2 ile sadeleşirse olur.