8. sınıf cebirsel ifadeler ve özdeşlikler

Cebirsel ifadeler

En az bir bilinmeyen bulunan ifadelere cebirsel ifade denir.Cebirsel ifadede bazı önemli kavramlar aşağıdaki gibidir.

değişken	cebirsel ifadede kullanılan x,y,k vb harflere değişken denir.
terim	cebirsel ifadedeki "+" veya "-" ile ayrılan her kısım terim olarak isimlenir. 5x + 8 cebirsel ifadesinde 5x ve 8 , x.y-15 ifadesindeki x.y ve -15 birer terimdir.
sabit terim	cebirsel ifadede sadece sayıdan oluşan terimlere sabit terim denir. 8x - 5 cebirsel ifadesinde sabit terim -5 dir.
katsayı	cebirsel ifadede bilinmeyenin yanında bulunan işareti ile beraber sayı. 5-11x ifadesindeki x in katsayısı -11 dir. Sabit terimde işareti ile birlikte katsayıdır.
benzer terim	değişkeni ve değişkenin kuvveti ( üssü ) aynı olan terimlerdir. x²+2x-2+3x cebirsel ifadesinde 2x ve 3x benzer terimdir.

Cebirsel ifadeleri farklı şekilde yazma

Cebirsel ifadelerde toplama işleminin değişme ,birleşme , etkisiz eleman özellikleri , çarpma işleminin değişme , birleşme , toplama veya çıkarma işlemleri üzerine dağılma özellikleri uygulanabilir.Bu şekilde cebirsel ifadeler farklı şekillerde yazılabilir.

Terimlerle toplama veya çıkarma işlemi

Sadece benzer terimler toplanabilir veya çıkarılabilir.
3x + 2x = 5x ve 3x - 2x = x olur.
Ama 3x + 2y yerine 5xy , 3x-2y yerine xy yazılamaz.
Sabit terim ile değişkenli terim arasında toplama veya çıkarma yapılamaz.
3x + 2 yerine 5x , 3x - 2 yerine x yazılamaz.
Aynı değişkenli ama farklı kuvveti olan terimler arasında toplama veya çıkarma yapılamaz.
3x + 2x² yerine 5xx² veya 3x - 2x² yerine xx² yazılamaz.

Yukarıda 2x² + 3x cebirsel ifadesinin modellenmesi yapılmaya çalışılmıştır.

Terimlerle çarpma

Çarpma işleminde iki farklı durum vardır.

durum tam sayı ile çarpma
Bu durumda terimin katsayısı ile tam sayı arasında çarpma işlemi yapılır.
2x.3 = 6x
2².3 = 6²
durum iki değişkenli terimi çarpma
Bu durumda katsayılar çarpılır , aynı değişkenlerin kuvvetleri toplanır , farklı değişkenler çarpım olarak yazılır.
3x.2x = 6x²
2x².5x = 10x³
3x.4y = 12xy
2xy.3yx² =6x³y²

Cebirsel ifadelerin çarpımı

Cebirsel ifadeleri çarpmada , çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği kullanılır.Burada iki durum vardır.

tek terimli cebirsel ifade ile başka bir cebirsel ifadeyi çarpma.
Bu durumda tek terimli cebirsel ifade diğer cebirsel ifadenin tüm terimleri ile ( sabit terim dahil ) ayrı ayrı çarpılır.
x.(2x+5) = (x.2x)+(x.5) olur.Parantez içi işlemler yapılırsa 2x² + 5x olur.
2y.(8y-5) = (2y.8y)+(2y.5) olur.Parantez içi işlemler yapılırsa 16y² - 10y
durum birden fazla terimli cebirsel ifadeleri çarpma
Bu durumda bir cebirsel ifadedeki her bir terim , diğer cebirsel ifadedeki her bir terimle ayrı ayrı çarpılır.
1.örnek (x+3).(x+2) = [x.(x+2)] + [3.(x+2)] olur.
Köşeli parantez içi çarpmlar yapılırsa x² + 2x + 3x + 6 olur.
Benzer terimler toplanırsa x² + 5x + 6 olur.
2. örnek olarak (2x+5).(3x-2) işlemi aşamaları;
1. aşama:[2x.(3x-2)] - [5.(3x-2)]
2. aşama:[6x²-4x] - [15x-10]
3. aşama:6x² - 4x - 15x + 10
  NOT: Bu aşamada 2.aşamadan farklı olarak 15x in işaretinin -,10 nun işaretinin + olduğuna dikkat edin.
  Çünkü 2.aşamada köşeli parantez önünde -1 işareti vardı.-1 ile parantez içindeki 2 terim çarpıldı.
4. aşama:6x² - 19x + 10

Cebirsel ifadelerin çarpımının modellenmesi

Özdeşlikler

Değişkenin aldığı her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.8.sınıfta bilinmesi gereken 3 çeşit özdeşlik vardır.

özdeşlik:İki terimin toplamının karesi (x+y)² = x²+2xy+y²
özdeşlik:İki terimin farkının karesi (x-y)² = x²-2xy+y²
özdeşlik:İki terimin karesinin farkı x²-y² = (x-y)(x+y)

Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırma

Bir cebirsel ifadenin terimlerinin çarpanlarından ortak olanlarının parantez dışına çarpan olarak yazılıp,ortak olmayanların parantez içine yazılımasına ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma denir.Örnekler

3x + 6 cebirsel ifadesinde ilk terim 3.x , 2. terim ise 2.3 şeklinde çarpanlara ayrılır.
İki terimin çarpanlarında 3 ortak olduğundan 3.(x+2) şeklinde çarpanlara ayırma işlemi yapılabilir.
x²y + 2x cebirsel ifadesinde ilk terim x.x.y , 2. terim ise 2.x şeklinde çarpanlara ayrılır.
İki terimin çarpanlarında x ortak olduğundan x.(xy+2) şeklinde çarpanlara ayırma işlemi yapılabilir.

Çarpanlara ayırmada özdeşliklerden yararlanılır.

Üç terimli bir cebirsel ifadede 1. ve 3. terimlerin kareköklerinin 2 katı ortadaki terime eşitse iki terimin toplamının karesi özdeşliğinden yararlanabilirsiniz.
1. örnek : x² + 6x + 9 cebirsel ifadesi (x+3)² şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
2. örnek : 4a² + 16ab + 16b² cebirsel ifadesi (2a+4b)² şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
Üç terimli bir cebirsel ifadede 1. ve 3. terimlerin kareköklerinin -2 katı ortadaki terime eşitse iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanabilirsiniz.
1. örnek:x² - 8x + 16 cebirsel ifadesi (x-4)² şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
2. örnek:9a² - 12ab + 4b² cebirsel ifadesi (3a-2b)² şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
İki kare farkı şeklindeki bir cebirsel ifadeyi çarpanlara ayırmak için iki terimin karesinin farkı özdeşliğinden yararlanabilirsiniz.Örnekler
1. örnek:4x² - 16 cebirsel ifadesi (2x-4)(2x+4) şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
2. örnek:25x² - 9y⁴ cebirsel ifadesi (5x-3y²)(5x+3y²) şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

Önerilen sayfalar

8. sınıf cebirsel ifadeler ve özdeşlikler Cebirsel ifadeler özdeşlikler soruları Cebirsel ifadelerle çarpma modelleme soruları Özdeşlik soruları Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırma testi