Üçgende kenarortay , açıortay ve yükseklik

• Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşı köşe ile birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
• Üçgenin bir köşesinden diğer kenara çizilen ve üçgenin köşesindeki iç açısını iki eş açıya ayıran doğru parçasına açıortay denir.
• Üçgendeki üç açıortay üçgenin içinde kesişir.
• Üçgenin bir köşesinden karşı kenarına veya kenarının uzantısına çizilen dikmenin kenar veya uzantısı ile köşe arasındaki doğru parçasına yükseklik denir.
• Eşkenar üçgende açıortay , kenarortay ve yükseklik aynı doğru paraçasıdır.
• İkizkenar üçgende uzunluğu farklı kenara ait yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.( alttaki ikizkenar üçgen şekline bakınız)
• Dik açılı üçgende 90^o'lik açıdan çizilen kenarortayın uzunluğu karşısındaki kenar uzunluğunun yarısına eşittir.
• Geniş açılı üçgende iki yükseklik açının dış bölgesindedir.
• Dik üçgende 90^o lik açının bir kenarı diğer kenarına ait yüksekliktir.( alttaki dik üçgen şekline bakınız)

Üçgenlerde katlama

• Üçgenin bir köşesi diğer bir köşesinin üstüne katlanınca oluşan kenar üzerindeki nokta ile karşı köşesi araındaki doğru parçası o kenara ait kenarortay olur.
  Aşağıdaki şekilde B köşesi C noktasına katlanmıştır.[AE] BC kenarına ait kenarortay olur.
  
• Üçgenin bir köşesi karşı kenarının veya uzantısının üzerindeki bir noktaya katlanınca oluşan katlama izi ait olduğu açının açıortayı olur.
  Aşağıdaki şekilde B köşesi AC kenarındaki Y noktasına katlanmıştır.Oluşan AD izi A köşesine ait açıortay olmuştur.
  
• Üçgenin bir köşesi katlama izi katlanan kenara dik olan bir noktaya katlanırsa oluşan katlama izi o kenara yükseklik olur.
  Aşağıdaki şekilde B köşesi BC kenarında katlanmış ve oluşan AF izi BC kenarının yüksekliği olmuştur.
  

Üçgen eşitsizliği

Bir üçgenin 2 kenarının uzunluklarının toplamı,3. kenarın uzunluğundan büyük , iki kenarın farkının mutlak değerinin 3. kenardan küçük olmasına üçgen eşitsizliği adı verilir.3 kenarı uzunluklarını a , b ve c olarak sembollersek bu eşitsizliği |b-c| < a < b + c şeklinde gösterebiliriz.Örnekler

• Bir üçgenin iki kenarı 4 ve 5 cm ise 3. kenarının olabileceği uzunluklarını hesaplamak için (5-4) < x < 5+4 eşitsizliği kurulur.İşlemler yapılınca eşitsizlik 1 < x < 9 şeklini alır.Bu eşitsizlikten üçgenin 3. kenarının 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 cm olabileceği belirlenir.
• 6 , 2 ve 3 m uzunluğundaki 3 tahta parçası ( parçalar kesilmeden , birleşim yerinden taşmadan ) ile bahçede üçgen şeklinde bir kısım yapılabilir mi? sorusunu çözebilmek için sıra ile eşitsizlikler uygulanır.( Burada birden fazla toplama çıkarma yapmanız gerekecektir.)
  İlk önce 6 ve 2 metrelikleri işleme alıp 3 ile karşılaştıralım. 6+2 = 8 olduğu ve 8 , 3 ten büyük olduğundan olabilir.
  6-2 = 4 ve 4 , 3 den büyük olduğundan eşitsizlik sağlanmaz.Çünkü iki kenarın farkı 3. kenardan küçük olmalıdır.Bu yüzden diğer işlemleri yapmaya gerek kalmadan üçgen yapılamayacağı sonucunu elde ederiz.

Üçgen kenar ve karşısındaki açılar

Bir üçgende en büyük kenar karşısındaki açı en büyüktür.Kenar uzunluklarının sıralaması ile kenarların karşısındaki açıların ölçülerinin sralaması aynıdır.

Üstteki ABC açısında kenar uzunluklarının sıralaması |BC| < |AC| < |AB| olduğundan dolayı m(A) < m(B) < m(C) olur.Yani en büyük kenar olan AB kenarının karşısında C açısı en büyük açı olur.En küçük kenar olan BC kenarının karşısıdaki A açısı ise en küçük açı olur.

Üçgen çizme

3 farklı bilgi ile üçgen çizilebilir.

1) Üç kenar uzunluğunun verilmesi.İlk önce bir kenar uzunluğuna göre çizilir.Daha sonra diğer kenar çizilen ilk kenarın bir ucunda bir açı oluşturarak çizilir.Açı oluşturmada yukarıda anlatılan kenar ve karşısındaki açı ilişkisi gözönüne alınır.3. kenarda çizilen iki kenarın uçlarında başlayıp bitebiliyorsa üçgen tamamlanmış olur.Eğer uçlarında olmuyorsa ilk iki kenar arasındaki açı değişitirilir ve tekrar 3. kenar denemesi yapılır.

2) Bir kenarı ve bu kenardan oluşan 2 açısının ölçüsünün verilmesi.Bu durumda bu kenar çizilir.Daha sonra verilen açı ölçülerinde açılar oluşur.Açıların diğer kenarlarının kesiştiği noktadan sonrakiler silinir ve üçgen oluşur.

3) İki kenar uzunluğu ve arasındaki açının verilmesi.Bu durumda bu kenarlar uzunluğunda çizgilerle verilen açı olacak şeklide çizilir.Daha sonra kenarların diğer uçları birleşir ve üçgen oluşur.

Pisagor bağıntısı

Bir dik üçgende dik açılı köşenin karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir.Yandaki dik üçgende hipotenüs AC kenarıdır.

Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan üçgen kenarları dik kenarlardır.Yandaki şekilde AB ve AC kenarları dik kenarlardır.

Bir dik üçgende , dik kenarların karesinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olmasına Piasgor bağıntısı denir.a ve b dik kenar uzunluğu , c ise hipotenüs uzunluğu sembollemek üzere a² + b² = c² şeklinde gösterilir.

• Bir dik açılı üçgenin dik kenarları 2 cm ve 4 cm ise hipotenüsü bulmak için hipotenüs uzunluğuna x dersek 2² + 4² = x² denklemi oluşturulur.
  Üslü ifadeler hesaplanınca 4 + 16 = x² olur.
  x² = 20 den x = olur.
• Hipotenüsü 10 cm , bir dik kenarı 6 cm olan dik üçgenin diğer dik kenarını bulmak için
  ilk önce bilinmeyen kenar uzunluğuna x dersek 10² = x² + 6² denklemi kurulur.
  Üslü ifadeleri hesaplarsak 100 = x² + 36 olur.
  İki taraftan 36 çıkarsa x² = 64 olur.
  Karekökler alınırsa x = 8 olur.

Kenar uzunluklarından dik üçgeni tahmin etme

Sadece kenar uzunlukları verilen , şekli veya açıları verilmeyen bir üçgenin dik olup olmadığını anlamak için kenarların karesi alınır.En büyük sayı hipotenüs usunluğu olduğundan , diğer ikisinin toplamına eşit ise bu üçgen dik üçgendir.

• Kenarları 5 cm , 5 cm ve 10 cm uzunluğunda olan üçgenin dik açılı olup olmadığı tespit için
  tüm kenarların kareleri alınırsa 25 , (25.5) den 125 ve 100 olur.
  Burada 25 + 100 = 125 olduğundan dolayı bu üçgen dik açılı bir üçgendir.
• Kenarları 2cm , 3 cm ve 3 uzunluğunda olan üçgenin dik açılı olup olmadığı tespit için
  tüm kenarların kareleri alınırsa sıra ile (4.5) den 20 , 9 ve (9.2) den 18 bulunur.
  9+18 ≠ 20 olduğundan dolayı bu üçgen dik açılı üçgen değildir.

Koordinat sisteminde pisagor bağıntısı

Pisagor bağıntısı koordinat sisteminde iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılır.

Yukarıdaki koordinat sisteminde A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesaplamak için AB kenarı hipotenüs olacak şekilde bir dik üçgen belirleriz.
Bunu görmek için tıklayınız
ABC üçgeninde |AC| = 3 birim , |CB|= 4 birim olduğundan AB uzunluğuna x dersek 3² + 4² = x² denklemi olur.
Üslü ifadeler hesaplanırsa 9 + 16 = x² olur.
25 = x² x = 5 olarak bulunur.