Kümelerde birleşim ve kesişim işlemi

A ve B kümelerinin tüm elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin birleşim kümesi denir.A ∪ B şeklinde gösterilir.
A ∪ B = {x|x ∈ A veya x ∈ B} olur.

A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi denir.A ∩ B şeklinde gösterilir.
A ∩ B = {x|x ∈ A ve x ∈ B} olur.

A,B ⊂ E kümelerin A ∩ B = ∅ ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.Yani A ve B kümelerinin ortak elemanı yoksa bu iki küme ayrık kümedir.

Özellikler

1. Tek kuvvet özelliği
   A ∪ A = A
   A ∩ A = A
2. Değişme özelliği
   A ∪ B = B ∪ A
   A ∩ B = B ∩ A
3. Birleşme özelliği
   A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪ C
   A ∩ (B ∩ C) =(A ∩ B) ∩ A
4. Yutan eleman özelliği
   A ∩ ∅ = ∅
5. Birim eleman özelliği
   A ∪ ∅ = A
6. Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği
   A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
7. Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği
   A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

İki kümenin birleşiminin eleman sayılarını bulma

• B ⊂ A ( B A'nın alt kümesi ) ise s(A ∪ B) = s(A)
• A ∩ B = ∅ ( ayrık küme ) ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B)
• A ∩ B ≠ ∅ ( ayrık küme değil , ortak eleman var ) ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
• A,B,C ⊂ E olmak üzere
  s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A ∩ B)- s(A ∩ C)- s(B ∩ C)- s(A ∩ B ∩ C)

Kümelerde fark işlemi

A,B ⊂ E olmak üzere

• A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve A-B veta A\B şeklinde gösterilir.
• B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların kümesine B fark A kümesi denir ve B-A veta B\A şeklinde gösterilir.
• A-B={x| x∈A ve x∉B}
• B-A={x| x∈B ve x∉A}
• s(A ∪ B) = s(A-B) + s(B-A) + s(A ∩ B)

Kümelerde tümleme işlemi

A⊂E olmak üzere A kümesinde olmayıp E (evrensel) kümesinde olan elemanların kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A^ı şeklinde gösterilir.
A^ı = {x| x ∉ A ve x ∈ E } olur.
Her A⊂E için s(E) = s(A) + s(A^ı) olur.

Kümelerde fark ve tümleme işleminin özellikleri

• A,B ⊂ C olsun.
• (A^ı)^ı=A
• E^ı = ∅
• ∅^ı = E
• A ∩ A^ı = ∅
• A ∪ A^ı = E
• A - B = A ∩ B^ı
• B - A = B ∩ A^ı
• A ≠ B olmak üzere A - B ≠ B - A
• A - A = ∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - E = ∅
• E - A = A^ı

A,B ⊂ E olmak üzere aşağıdaki iki eşitliğe De Morgan kuralları denir.

• (A ∪ B)^ı = A^ı ∩ B^ı
• (A ∩ B)^ı = A^ı ∪ B^ı

Küme işlemleri ile sembolik mantık kuralları arası ilişki

Küme problemleri

Küme problemlerini yukarıdaki küme işlemleri dışında Ven şeması haline getirerek de çözebilirsiniz.

Yukarıda Venn şeması bir okuldaki öğrencileri temsil etmektedir.Küçük harflar bulunduğu bölgenin eleman sayısını gösterir.M matematik kursuna giden , T ise Türkçe kursuna giden öğrenci kümesidir.

• Yalnız bir kursa giden öğrenci sayısı p + s
• En az bir kursa giden öğrenci sayısı p + r + s
• İki kursa giden öğrenci sayısı r
• İki kursa da gitmeyen öğrenci sayısı d
• Matematik kursuna gitmeyen öğrenci sayısı s + d
• Türkçe kursuna gitmeyen öğrenci sayısı p + d

Sıralı ikili

• Boş kümeden farklı A ve B kümelerinde , A kümesinden alınan bir a elemanı ile B kümesinden alınan bir b elemanı kullanılarak ve sıra ile elde edilen (a,b) şeklindeki yeni ifadeye sıralı ikili denir.
• (a,b) sıralı ikilisinde a birinci bileşen , b ikinci bileşendir.
• a ≠ b için (a,b) ≠ (b,a)
• Sıralı ikililer birbirine eşit ise birinci bileşenler birbirine , ikinci bileşenlerde birbirine eşit olmalıdır.
  (a,b) = (c,d) ise a = c ve b = d olur.

Kartezyen çarpım

• Boş kümeden farklı A ve B kümelerinde ,birinci bileşeni A kümesinden , ikinci bileşeni de B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen B kümesi denir.A x B şeklinde gösterilir.
• A x B = { (a,b) | a ∈ A , b ∈ B} olur.
• Sıralı ikilide bileşenleri yeri değiştiğinde farklı sıralı ikili oluşacağından A ≠ B ise A x B ≠ B x A dır.
• s(A) = m ve s(B) = n ise s(A x B) = m . n

A = { 1 , 2 , 3 } ve B = { 1 , 2 } kümelerinin sıralı ikilileri ile oluşan A x B = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} kümesine ait grafik aşağıdaki gibidir.