Mantık önermeler ve bileşik önermeler

Önerme

Doğru yada yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
Önermeler genelde p,q,r .. gibi küçük harfle gösterilir.
Önermenin doğruluk yada yanlışlığına önermenin doğruluk değeri denir.
Bir önerme doğru ise D veya 1 ile gösterilir.
Bir önerme yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir.
Bir p önermesi doğru ise p ≡ 1 ( p denktir 1 ) , yanlış ise p ≡ 0 ( p denktir sıfır ) olarak ifade edilir.

"Osman zekidir." ifadesinde zeki olma ölçütü belli olmadığından önerme değildir.
"Osman"ın IQ'su 115'dir" ifadesi bir önermedir.
"Süleyman'ın arabası hızlıdır." ifadesinde hız ölçütü belli olmadığından önerme değildir.
"Süleyman'ın arabası saatte 250 km/sa hız yapabilmektedir." ifadesi bir önermedir.

Denk önerme : p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise bu iki önermeye denk önerme denir.p ≡ q şeklinde gösterilir ve p denktir q şeklinde okunur.

Bir önermenin değili (olumsuzu) : Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan önermeye o önermenin değili ( olumsuzu ) denir.Bir p önermesinin değili , p^ı veya ~p sembollerinden biri ile gösterilir.
0^ı ≡ 1 , 1^ı ≡ 0 , (p^ı)^ı = p

p : "Kömürün rengi siyahtır."
p önermesi doğru bir önermedir.p ≡ 1 olur.
p^ı="Kömürün rengi siyah değildir." p^ı ≡ 0 olur.
q : "Demir bir metal değildir."
q önermesi yanlış bir önermedir.q ≡ 0 olur.
q^ı="Demir bir metaldir." q^ı ≡ 1 olur.

n tane farklı önermenin birlikte 2ⁿ tane farklı doğruluk durumu vardır.

Bileşik önermeler

"ve" , "veya" , "ya da" , "ise" , "ancak ve ancak" bağlaçlarına mantık bağlaçları denir.
En az iki önermenin mantık bağlaçları ile birbirine bağlanması ile oluşan önermelere bileşik önerme denir.

Veya ( V ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "veya" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p veya q önermesi denir.Bu önerme pVq şeklnde gösterilir.

pVq doğruluk tablosu
p	q	pVq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

pVq önermesi sadece p ve q önermeleri yanlış iken yanlış olur,diğer durumlarda doğrudur.

Ve ( ∧ ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "ve" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p ve q önermesi denir.Bu önerme p∧q şeklnde gösterilir.

p∧q doğruluk tablosu
p	q	p∧q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

p∧q önermesi sadece p ve q önermeleri doğru iken doğru olur,diğer durumlarda yanlıştır.

Özellikler

Tek kuvvet özelliği
Her p önermesi için p∧p ≡ p ve pVp ≡ p olur.
Değişme özelliği
Her p ve q önermesi için p∧q ≡ q∧p ve pVq ≡ qVp olur.
Birleşme özelliği
Her p , q ve r önermesi için (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r ve (pVq)Vr ≡ pV(qVr) olur.
Dağılma özelliği
- "ve"nin "veya" üzerine dağılma özelliği
  Her p , q ve r önermesi için p∧(qVr) ≡ (p∧q)V(p∧r) olur.
- "veya"nın "ve" üzerine dağılma özelliği
  Her p , q ve r önermesi için pV(q∧r) ≡ (pVq)∧(pVr) olur.

Ya da ( ⊻ ) bağlacı ile bileşik önermeler

p ile q önermelerinin "ya da" bağlacı ile bağlanması ile oluşan bileşik önermeye p ya da q önermesi denir.Bu önerme p⊻q şeklnde gösterilir.

p⊻q doğruluk tablosu
p	q	p⊻q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

p⊻q önermesi önermelerin doğruluk değerleri aynı iken yanlış , farklı iken doğru olur.Özellikleri:

p⊻q ≡ q⊻p
p⊻1=p^ı
p⊻p=0
p⊻0=p

De Morgan kuralları

p ve q önermeleri için aşağıdaki denkliklere De Morgan kuralları denir.

(pVq)^ı ≡ p^ı∧q^ı
(p∧q)^ı ≡ p^ıVq^ı

Koşullu önerme

p ile q önermelerinin ise bağlacı ile bağlanması ile elde edilen önermeye koşullu önerme veya p ise q önermesi denir ve p⇒q şeklinde gösterilir.

p⇒q doğruluk tablosu
p	q	p⇒q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

p⇒q önermesinde 1.önerme doğru , 2. önerme yanlış olduğunda yanlış olur,diğer durumlarda ise doğrudur.

p ve q önermeleri için p⇒q önermesi ile p^ı V q önermesi denk olur.p ⇒ q ≡ p^ı V q

p ve q önermeleri ile oluşan p⇒q önermesinde

q⇒p önermesine p⇒q önermesinin karşıtı
p^ı⇒q^ı önermesine p⇒q önermesinin tersi
q^ı⇒p^ı önermesine p⇒q önermesinin karşıt tersi

denir.

İki yönlü koşullu önerme

p ile q önermelerinin ancak ve ancak bağlacı ile bağlanması ile elde edilen önermeye iki yönlü koşullu önerme veya p ancak ve ancak q önermesi denir ve p⇔q şeklinde gösterilir.

p⇔q doğruluk tablosu
p	q	p⇔q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

p⇔q önermesinde önermelerin doğruluk değerleri aynı ise doğru , diğer durumlarda yanlış olur.

p⇔q ≡ (p⇒q)∧(q⇒p) olur.

Her (∀) ve bazı (∃) niceliyecileri

İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere açık önerme denir.

İçinde x gibi bir değişken olan bir açık önerme p(x) , x ve y gibi iki değişken olan bir açık önerme p(x,y) şeklinde gösterilir.

"Her" bütün,tamamı anlamındadır.Evrensel niceleyici olarak da bilinir ve ∀ sembolü ile gösterilir.
"Bazı" en az bir anlamındadır.Varlıksal niceleyici olarak da bilinir ve ∃ sembolü ile gösterilir.
[∀,p(x)]^ı ≡ [∃,p^ı(x)] ,
[∃,p(x)]^ı ≡ [∀,p^ı(x)] olur.

Tanım,aksiyon,teorem ve ispat

Bir terimi anlamları daha önceden bilinen terimler yardımı ile ifade etmeye tanım denir.
Teorem ispatında öncül olan,doğruluğu açıkça belli olan ve bu yüzden ispatına gerek olmayan önermelere aksiyom denir.
Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere teorem denir.
Bir teoremin verilen kısmına hipotez ( varsayım ) denir.
Bir teoremin verilen ispatlanacak kısmına hüküm ( yargı ) denir.
Bir teoremin hipotezinde hareketle hükmünün doğru olduğunu göstermeye teoremi ispatlamak denir.
p⇒q bir teorem ise p hipotez , q ise hüküm olur.

9. sınıf kümeler

Önerilen sayfalar

Mantık önermeler ve bileşik önermeler 9. sınıf önerme soruları 9. sınıf önerme testi