Çarpan , bölen ve kat

Bir doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir.Bu sayılara çarpan denir.Çarpan aynı zamandan doğal sayının bölenidir.

• 20 sayısı 4 . 5 şeklinde yazılabilir.4 ve 5 doğal sayıları 20 sayısının çarpanlarıdır , aynı zamanda bölenleridir.
• 24 sayısı 3 . 8 şeklinde yazılabilir.3 ve 8 doğal sayıları 24 sayısının çarpanlarıdır , aynı zamanda bölenleridir.
• 27 sayısı 3 . 9 şeklinde yazılabilir.3 ve 9 doğal sayıları 27 sayısının çarpanlarıdır , aynı zamanda bölenleridir.
• 30 sayısı 3 . 10 şeklinde yazılabilir.3 ve 10 doğal sayıları 30 sayısının çarpanlarıdır , aynı zamanda bölenleridir.

Bir doğal sayıyı başka bir doğal sayı ile çarptığımızda bulunan sayıya kat denir.Katlar doğal sayının 1 , 2 , 3 ... gibi doğal sayılarla çarpılması ile bulunur.

• 4 x 5 = 20 olduğundan 20 sayısı 4 sayısının katıdır.
• 8 x 3 = 24 olduğundan 24 sayısı 8 sayısının katıdır.
• 9 x 3 = 27 olduğundan 27 sayısı 9 sayısının katıdır.
• 3 x 10 = 30 olduğundan 30 sayısı 3 sayısının katıdır.

Kalansız bölünebilme kuralları

• 2 ile bölünebilme
  Bir sayı çift ise yani birler basamağındaki ( en sağdaki ) rakam 0 , 2 , 4, 6 veya 8 ise bu sayı ikiye kalansız bölünebilir.
  1. 9258 sayısının birler basamağındaki 8 rakamı bir çift sayı olduğundan bu sayı 2 ile kalansız bölünebilir.
  2. 6803 sayısının birler basamağındaki 3 rakamı bir tek sayı olduğundan bu sayısı 2 ile kalansız bölünemez.
• 3 ile bölünebilme
  Bir sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3 ve katları ise o sayı üçe kalansız bölünebilir.
  1. 629 sayısındaki rakamların toplamı olan 17 , 3'ün katı olmadığından dolayı bu sayı 3 ile kalansız bölünemez.
  2. 924 sayısındaki rakamların toplamı olan 15 , 3'ün katı olduğundan dolayı bu sayı 3 ile kalansız bölünebilir.
• 4 ile bölünebilme
  
  • Bir sayının birler basamağında 0 , 4 veya 8 ve onlar basamağında 0 , 2 , 4 , 6 veya 8 varsa sayı 4 ile bölünebilir.
  • Bir sayının birler basamağında 2 , 6 ve onlar basamağında 1 , 3 , 5 , 7 veya 9 varsa sayı 4 ile bölünebilir.
  1. 1042 - birler basamağında 2 onlar basamağında ise 4 rakamı olduğundan dolayı 4 ile bölünemez.
  2. 916 - birler basamağında 6 onlar basamağında ise 1 rakamı olduğundan dolayı 4 ile bölünemez.
  3. 5920 - birler basamağında 0 onlar basamağında ise 2 rakamı olduğundan dolayı 4 ile bölünebilir.
  4. 7532 - birler basamağında 2 onlar basamağında ise 3 rakamı olduğundan dolayı 4 ile bölünebilir.
• 5 ile bölünebilme
  Bir sayının birler basamağında 0 veya 5 varsa bu sayı 5 ile bölünebilir.
  1. 511 - birler basamağında 1 rakamı olduğundan 5 ile bölünemez.
  2. 10725 - birler basamağında 5 rakamı olduğundan 5 ile bölünebilir.
• 6 ile bölünebilme
  Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayı yani birler basamağındaki rakamı çift olan ve rakamların toplamı 3 ve katları olan 6 ile bölünebilir.
  1. 3721 - birler basamağında 1 olduğundan rakamları toplamaya gerek kalmadan 6 ile bölünemez olduğu bulunur.
  2. 6922 - rakamları toplamı olan 19 üçün katı olmadığından 6 ile bölünemez.
  3. 7524 - birler basamağında 2 ve rakamları toplamı olan 18 üçün katı olduğunda 6 ile bölünebilir.
• 9 ile bölünebilme
  Bir sayıyı oluşturan rakamların toplamı 9 ve katları ise o sayı dokuza kalansız bölünebilir.
  1. 8439 - rakamlar toplamı 24 dokuzun katı olmadığından 9 ile bölünemez.
  2. 23 418 - rakamlar toplamı 18 dokuzun katı olduğundan 9 ile bölünebilir.
• 10 ile bölünebilme
  Bir sayının birler basamağındaki ( sağdan en son rakam ) rakam 0 ise bu sayı ona kalansız bölünebilir.
  1. 789 - birler basamağında 9 olduğundan 10 ile bölünemez.
  2. 42 890 - birler basamağında 0 olduğundan 10 ile bölünebilir.

Asal sayılar

Sadece 1 e ve kendisine bölünebilen sayılara asal sayı denir.Bir başka açıdan asal sayı çarpanları sadece 1 ve kendisi olan sayılardır.

Eratosthenes (Eratosten) kalburu

Tablodaki turuncu renkliler asal sayılardır.

En küçük asal sayı 2 dir.Yani 1 sayısı asal sayı değildir.

Asal çarpanları belirleme

Bölen listesi yöntemi

Çizginin solundaki sayı devamlı olarak kalansız bölünebilecek en küçük asal sayıya bölünür ve bölüm sola yazılır.Bölüm 1 olana kadar bölme işlemi devam eder.

Üstteki örnekte 36 sayısında iki defa 2 ve iki defa da 3 e bölünmüştür.Bu yüzden 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3 olur.

Çarpan ağacı yöntemi

Bu yöntemde yukarıdan aşağıya doğru sayı kalansız bölünebilecek en küçük asal sayıya bölünür.Bölen bir alt sırada sola , sonuç ise sağına yazılır.Bölüm sağdaki sayı asal sayı olana kadar devam eder.

Yukarıdaki çarpan ağacı modelinde en sol ve alttakiler en üstteki sayının asal çarpanlarıdır.

Ortak kat

İki sayının ortak katlarını bulmak için sıra ile iki sayının katları yazılır.Bu yazılan katlar arasında aynı olan sayılar bu iki sayının ortak katlarıdır.

Yukarıda görüldüğü gibi 4 ve 6 sayılarının ortak katlarında ilk ikisi 12 ve 24'tür.

Ortak bölen

İki sayının ortak bölenlerini bulmak için sıra ile iki sayının bölenleri yazılır.Bu yazılan bölenler arasında aynı olan sayılar bu iki sayının ortak bölenleridir.

Yukarıda görüldüğü gibi 24 ve 36 sayılarının ortak bölenleri 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ve 12'dir.

Bölen listesi ile de ortak bölenleri bulabiliriz.

Yukarıdaki bölen listesinde dört defa iki sayıda aynı sayıya bölünebilmektedir.1 , 2 , 2 ve 3 ortak bölenlerdir.
Diğer ortak bölenleri bulmak için bunlar diğerleri ile çarpılır.Çarpım sonucunda farklı sayılar varsa onlarda ortak bölenlerdir. 2.2 = 4 , 2.2.3 = 12 , 2.3 = 6 işlem sonuçlarındaki 4 , 12 ve 6 sayıları da ortak bölenler olur.

Ortak bölen , ortak katlı problemler

Problemin olası cevabı problemde verilen sayılardan daha büyük ise verilen sayıların ortak katlarını bulmalısınızdır.

Problemin olası cevabı problemde verilen sayılardan daha küçük ise verilen sayıların ortak bölenlerini bulmalısınızdır.

Soru : Hatice 3 günde , Hasan ise 5 günde bir babaannesini ziyaret etmektedir.Bugün ikisi de babaannesini ziyaret etmiştir.Buna göre kaç gün sonra ikisi aynı gün babaannesini ziyaret edecektir?

• Bu problemin olası cevabı 3 ve 5 ten büyüktür.Bu yüzden bu iki sayının ortak katları bulunmalıdır.
• 3 ün katları 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18
• 5'in katları 5 , 10 , 15 , 20
• Bu katlardan ortak olan 15'dir.
• Yani Hatice ve Hasan 15 gün sonra tekrar babaannelerini aynı günde ziyaret edecektir.

Soru : Bir bakkalda 24 ve 36 kg kütlesinde iki çuval şeker var.Çuvallardaki şekerleri karıştırmadan eşit miktarda paketlemek isteyen bakkal kaç kilogramlık paketler hazırlayabilir?

• Bu problemin olası cevabı 24 ve 36'dan küçüktür.Bu yüzden bu iki sayının ortak bölenleri bulunmalıdır.
• 24 ün bölenleri 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24
• 36 nın bölenleri 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 36
• Ortak bölenleri 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 olarak tespit edilir.
• En az paket yapmak için paketin kütlesi en fazla olmalıdır.Bu yüzden ortak bölenlerden en büyüğü yani 12 seçilir.
• En fazla paket yapmak için ise tersine 1 seçilmelidir.