Düzgün çokgen özellikleri

Tüm açı ölçüleri ve kenar uzunlukları eşit olan çokgenler düzgün çokgenlerdir.

Üstteki 3 şekilde düzgün çokgendir.

1. şekil düzgün üçgen yani eşkenar üçgendir.
2. şekil düzgün dikdörtgen yani karedir.
3. şekil düzgün beşgendir.

Bu 3 şeklinde tüm kenar uzunlukları 3 birimdir.

Bir n kenarlı bir düzgün çokgenin iç açı ölçüleri ise ( n - 2 ).180^o bağıntısı ile bulunur.Buna göre şekilerin iç açıları şu şekildedir

1. şekil : ( 3 - 2 ).180 işlemi ile iç açı ölçülerinin toplamı 180^o olarak bulunur.
2. şekil : ( 4 - 2 ).180 işlemi ile iç açı ölçülerinin toplamı 360^o olarak bulunur.
3. şekil : ( 5 - 2 ).180 işlemi ile iç açı ölçülerinin toplamı 540^o olarak bulunur.

Düzgün çokgenlerde açılar eş olduğundan dolayı n kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için ( n - 2 ).108^o ÷ n bağıntısı kullanılır.Yani iç açıları toplamı kenar sayısına bölünür.

1. şekil : 180 ÷ 3 işlemi ile bir iç açının ölçüsü 60^o olarak bulunur.
2. şekil : 360 ÷ 4 işlemi işlemi ile bir iç açının ölçüsü 90^o olarak bulunur.
3. şekil : 540 ÷ 5 işlemi işlemi ile bir iç açının ölçüsü 108^o olarak bulunur.

Bir çokgenin dış açı ölçülerinin toplamı 360^o dir.Düzgün çokgenlerde tüm açı ölçüleri eşit olduğundan n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açı ölçüsü n ÷ 360 ile bulunur.

Çokgen köşegen,iç açı ve dış açıları

Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçası köşegendir.

Çokgenin köşesindeki açının iç bölgesi çokgenin iç bölgesinde ise bu açı iç açı değilse dış açıdır.

Çokgenin bir iç açısı ile dış açısı bütünler açı oluşturur.Yani bu iki açının derecelerinin toplamları 180^o'dir.

n adet kenarı olan bir çokgenin iç açıları toplamı (n-2).180^o bağıntısı ile hesaplanır.

Bir çokgenin dış açı ölçülerinin toplamı 360^o dir.

Üstteki çokgen bir beşgendir.Bu beşgenin iç açılarının toplamı (5-2).180^o işlemi ile 540^o olarak hesaplanır.Beşgenin iç açılarını görmek için tıklayınız.

Beşgenin 10 adet dış açısı var.Bunları görmek için tıklayınız. Şekilde kırmızı çizgiler kenarlarla doğrudaşdır.

Her iç açı iki dış açısından biri ile bütünler açı ( toplamı 180 ^o olan) oluşturur.Bunları görmek için tıklayınız.Şekildeki yeşil renkliler dış açı , sarı renkliler ise iç açıdır.

Dikdörtgen

• Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır.
• Açılarının hepsi 90^o dir.
• Dikdörtgenin 2 köşegeninin uzunlukları eşittir.
• Köşegenler birbirlerini ortalar.
• Köşegenler dikdörtgenin paralel kenarlarını kesendir.Bu yüzden iç ters açı ölçüleri eşittir.
• Köşegenlerin kesiştiği noktada oluşan ters açı ölçüleri de eşittir.
• Köşegenleri ve köşegenlerin oluşturduğu eş açıları sıra ile görmek için tıklayınız
• Aynı renkli açıların ölçüleri eşittir.
• Bir köşegen dikdörtgeni 2 eş parçaya ayırır.

Kare

• Tüm kenar uzunlukları eşittir.
• Açılarının hepsi 90^o dir.
• Karenin 2 köşegeninin uzunlukları eşittir.
• Bir köşegen kareyi 2 eş parçaya ayırır.
• Karenin köşegeni köşelerin açıortayıdır.Yani köşegen ile kenarlar arasındaki açı 45^o dir.
• Karenin köşegenleri birbirini dik şekilde kesmektedir.

Paralelkenar

• Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır.
• İki köşegen eşit uzunlukta değildir
• Bir köşegen paralelkenarı iki eş parçaya ayırır.
• Köşegenler birbirlerini ortalar.
• Karşılıklı açılar eş ( aynı renkli açılar ), ardışık açılar ise bütünlerdir. ( sarı ile yeşil renklilerin toplamı 180^o).
• Köşegenler paralelkenarın paralel kenarlarını kesendir.Bu yüzden iç ters açı ölçüleri eşittir.

Eşkenar dörtgen

• Tüm kenar uzunlukları eşit uzunluktadır.
• Karşılıklı açı ölçüleri eşittir.
• İki köşegen eşit uzunlukta değildir.
• Bir köşegen şekli iki eş parçaya ayırır.
• Köşegenler birbirini ortalar.
• Köşegenler geçtiği köşelerdeki açıların açıortayıdır.
• Köşegenler dik kesişir.

Yamuk

• Karşılıklı kenar çiftlerinden en az bir tanesi paraleldir.
• İki köşegen eşit uzunlukta değildir.
• Yamukların köşegenleri yamuğu iki eş parçaya ayırmaz.
• Paralelkenarları yan kenarlar keser.Bu yüzden bir yan kenar ile iki tabandan oluşan iki açı bütünler açılardır.
• Yukarıdaki şekilde
  • A ile D
  • B ile C
  • E ile F
  • G ile H
  köşelerindeki ikili açılar bütünler açılardır.Yani ölçüleri toplamı 180^o dir.

Eşkenar dörtgen alanı hesaplama

Eşkenar dörtgen paralelkenar gibi taban kenarı ile o tabana ait yüksekliğinin (tabana çizilen dikme) çarpımı ile bulunabilir.

Eşkenar dörtgen ayrıca köşegenlerin çarpımın yarısı ile de bulunabilir.Köşegen uzunlukları a ve b olan bir eşkenar dörtgenin alan bağıntısı şeklindedir.

ABCD eşkenar dörtgeninde taban 6 cm , yükseklik 7,5 cm olduğundan alanını 6 x 7,5 = 45 cm² olarak bulunur.

FHIG eşkenar dörtgeninde iki köşegen uzunlukları 6 ve 4 cm olduğundan alanı (6.4)÷2 = 12 cm² olarak bulunur.

Yamuk alanı hesaplama

Yamuğun alanı iki paralel kenarın toplamının yarısının , yükseklik ile çarpımı ile bulunur.Paralel kenarlar a ve b , yükseklik h ise alan bağıntısı şeklindedir.

Yukarıdaki ABCD yamuğunun paralel kenarları |AB|=3 birim ve |DC|= 6 birim yükseklik 3 birimdir.Buna göre alan olur.

EFGH yamuğunun paralel kenarları |FG| = 4 birim , |EH| = 7 birim ve yükseklik 3 birimdir.Buna göre alan olur.

Çokgen alan hesaplama

Bazen sorularda tek bir şeklin alanı değil,birden fazla şeklin birleşiminden oluşan şekillerin alanıda sorulabilir.Bu durumda yapmanız gereken şekilleri alan bağıntılarını bildiğiniz şekilde gruplamak gerekir.

Yukarıdaki şeklin bu görünüşü ile alanını hesaplamak zor gelebilir.Ama tıklarsanız bu şeklin bir üçgen ile bir karenin biraraya gelmesinden oluştuğunu anlayabilirsiniz.Buna göre

• üçgen alanı için taban ile yükseklik çarpılır.Taban 4 birim ( kırmızı noktalı ) ve yükseklik 2 birimdir.Yükseliği fark edemedi iseniz tıklayınız.Buna göre bu üçgenin alanı (4 . 2 )÷ 2 işlemi ile 4 birim² olarak hesaplanır.
• Şeklin diğer kısmı ise bir kenarı 5 birim olan karedir.Bu karenin alanı 5.5 ile 25 birim² olarak hesaplanır.
• 4 + 25 işlemi ile bileşik şeklin alanı 29 birim² olarak bulunur.

• Çevre uzunlukları aynı olan şekillerin alanı eşit olmayabilir.
• Yukarıdaki 1. dikdörtgenin alanı 2 x 3 = 6 birim² çevre uzunluğu ise 2.( 2 + 3 ) = 12 birim olarak bulunur.
• 2. dikdörtgenin alanı ise 1 x 6 = 6 birim² çevre uzunluğu ise 2.( 1 + 6 ) = 12 birim olarak bulunur.
• Alanları eşit şekillerin çevre uzunlukları eşit olmayabilir.
• Yukarıdaki 3. dikdörtgenin alanı 3 x 5 = 15 birim² çevre uzunluğu ise 2.( 3 + 5 ) = 16 birim olarak bulunur.
• 4. dikdörtgenin alanı ise 2 x 6 = 12 birim² çevre uzunluğu ise 2.( 2 + 6 ) = 16 birim olarak bulunur.