Şükr kelimesi bulunan ayetler Sabr kelimesi bulunan ayetler Namaz kelimesi bulunan ayetler Zekat kelimesi bulunan ayetler Cennet kelimesi bulunan ayetler Cehennem kelimesi bulunan ayetler
Kuranı Kerim
Matematik
Mehmet Açar yazılım

8. sınıf doğrusal denklemler

Aşağıda örnekler gerçek değildir.Anlatım kolaylığı için gerçekmiş gibi cümleler kullanılmıştır.

Doğrusal ilişki

Bir değişkenin değeri değiştiğinde diğer değişkenin de değeri doğru orantılı şekilde değişiyorsa bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır.

  1. örnek okulda her öğrenciye 6 kitap veriliyorsa öğrenci sayısı ile verilen kitap sayısı arasında doğrusal ilişki vardır.
  2. örnek bir öğrencinin çözdüğü her soru için babasından 10 kuruş almasında çözdüğü soru ile babasından aldığı para arasında doğrusal ilişki vardır.
  3. örnek katettiği her kilometrede 20 kuruşluk benzin tüketen bir arabanın aldığı yol ile tükettiği benzinin değeri arasında doğrusal ilişki vardır.

Doğrusal ilişki olan değişkenlerde diğer değişkene göre değişen değişken bağımlı değişken , diğer değişkenin değerinden etkilenmeyen değişken ise bağımsız değişkendir.Örnekler

  1. örnek öğrenci-kitap örneğinde öğrenci sayısına göre kitap sayısı değiştiğinden öğrenci sayısı bağımsız değişken , kitap sayısı ise bağımlı değişkendir.
  2. örnek çözülen soru-alınan para örneğinde çözülen soru sayısına göre para değiştiğinden çözülen soru bağımsız değişken , alınan para ise bağımlı değişkendir.

Doğrusal ilişkilerin tablo ile gösterimi

Öğrenci sayısı (ö)Kitap sayısı (k)İlişkiSıralı ikili
00Öğrenci yok kitap yok(0,0)
166'nın 1 katı(1,6)
2126'nın 2 katı(2,12)
3186'nın 3 katı(3,18)
............
ök = 6ö6'nın ö katı...
Alınan yol (y)Tüketilen benzin değeri (d)İlişkiSıralı ikili
00Yol alınmadı,benzin tükenmedi(0,0)
12020'nin 1 katı(1,20)
24020'nin 2 katı(2,40)
36020'nin 3 katı(3,60)
............
ys = 20y20'nin y katı...

Bağımsız değişkenler sıfırdan başlayarak birer birer arttığında bağımlı değişkenlerin değerleri tablodan görülebilir.Değişkenlerin aralarındaki ilişki her satırda mevcuttur.Bu ilişkilere göre kurulacak denklemler tabloda kırmızı renkli olarak belirtilmiştir.Denklemde bir durumdaki değişken değerinde diğerinin alacağı değeri bulabiliriz.Örnek olarak okulda 500 öğrenci varsa verilen kitap sayısı 6.500 işlemi ile 3000 olarak hesaplanır.Araba ile 1000 km yol alındı ise tüketilen benzin değeri 20.1000 ile 20 000 kuruş olarak hesaplanır.

Doğrusal denklemler

Aralarında doğrusal ilişki olan değişkenler arasında doğrusal denklem kurulur.Bir doğrusal denklem ax + by + c = 0 şeklinde gösterilir.

yx1234-1-2-3-4-1-2-3-41234x=3y+2 gösterYeşil doğruy=2x+4 gösterMavi doğru-3x=2y gösterKırmızı doğruy=-4 gösterSarı doğrux=-4 gösterTuruncu doğruHepsini sil

Bir doğru çizebilmek için doğru üzerindeki en az 2 noktanın bilinmesi gereklidir.Bir doğrusal deklemin grafiğini çizmek için bir değişkenin değerinin 0 olduğunda diğer değişkenin değeri hesaplanır.Aynı şekilde diğer değişken 0 iken ilk değişken değeri hesaplanır ve bunlar koordinat sisteminde işaretlenir.Daha sonra bu iki noktadan geçecek bir doğru çizilir.Bu doğru denklemin grafiğidir.

  1. örnek x = 3y + 2 doğrusal denkleminde
    y = 0 iken x = 3.0 + 2 ve x = 2 olur.İlk noktamız (2,0) sıralı ikisidir.
    x = 0 iken 0 = 3y + 2 olur y = -23 olur.İkinci noktamız (0,-23) sıralı ikisidir.
    Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru x = 3y + 2 doğrusal denkleminin grafiği olur.Yukarıdaki şekilde x = 3y + 2 gösteri tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  2. örnek y = 2x + 4 doğrusal denkleminde
    y = 0 iken 0 = 2x + 4 ve x = -2 olur.İlk noktamız (-2,0) olur.
    x = 0 iken y = 2.0 + 4 ve y = 4 olur.İkinci noktamız (0,4) olur.
    Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru y = 2x + 4 doğrusal denkleminin grafiği olur.Şekildeki y = 2x + 4 gösteri tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  3. örnek -3x = 2y doğrusal denkleminde
    y = 0 iken -3x = 2.0 ve x = 0 olarak buluruz.İlk noktamız (0,0) sıralı ikisidir.
    y = 3 iken -3x = 2.3 ve x = -2 olarak buluruz.İkinci noktamız (-2,0) sıralı ikisidir.
    Şekildeki -3x = 2y gösteri tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  4. örnek y = -4 denklemide doğrusal bir denklemdir.x in katsayı 0 olur ve çarpım sonucu 0 toplamada etkisiz eleman olduğunda gösterilmez.Bu durumda x in her değeri için y = -4 olacaktır.Örnek olarak x = -2 olursa sıralı ikili (-2,-4) , x = 2 olursa sıralı ikili (2,-4) olur.Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru y = -4 doğrusal denkleminin grafiği olur.Şekildeki y = -4 gösteri tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.
  5. örnek x = -4 denklemide doğrusal bir denklemdir.Bu durumda y nin her değeri için x = -4 olacaktır.Örnek olarak y = -2 olursa sıralı ikili (-4,-2) , y = 2 olursa sıralı ikili (-4,2) olur.Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu iki noktadan geçen bir doğru çizersek çizilen doğru x = -4 doğrusal denkleminin grafiği olur.Şekildeki x = -4 gösteri tıkladığınız doğruyu görebilirsiniz.

Sitede girdiğiniz doğrusal denklemlerin grafiğini görebileceğiniz sayfa vardır.Grafik çizme

Babası oğlu Hasan'a hergün 5 TL vermektedir.Bunun dışında her çözdüğü soru için babası 2 TL vermektedir.Hasan'ın günlük çözdüğü soru ile babasından aldığı para arasındaki doğrusal ilişki için aşağıdaki tabloyu yapabiliriz.

Çözdüğü soru (s)Aldığı para (a)İlişkiSıralı ikili
005(0,5)
121'nin 2 katının 5 fazlası(1,7)
242'nin 2 katının 5 fazlası(2,9)
323'ün 2 katının 5 fazlası(3,11)
............
sa = 2s+5s'nin 2 katının 5 fazlası...

acebindeki parassoru sayısı1234-1-2-3-4-5-10-15-205101520

Yukarıdaki şekilde a = 2s + 5 doğrusal denkleminin grafiği bulunmaktadır.Bir doğrusal denklem grafiği çizebilmek için iki noktanın tespiti yeterlidir. İlk nokta için soru sayısı yerine 0 yazılır a = 2.0 + 5 işleminden a = 5 olur ve (0,5) sıralı ikilisi bulunur.( Soru sayısı negatif sayı olamaz o yüzden en küçük olan 0 ile başladık).Anlamı Hasan soru çözmese de babasından 5 TL alır.
İkinci nokta için herhangi bir soru sayısı belirleyebiliriz.Grafikte ikinci nokta tespiti için soru sayısı 3 alınmıştır.Bu durumda a = 2.3 + 5 işleminden a = 11 olur ve (3,11) sıralı ikilisi bulunur.( Yani Hasan 3 soru çözerse babasından 11 TL alır.)
Bu iki nokta birleştirilirse a = 2s + 5 denkleminin grafiği çizilmiş olur.