Tam sayılarla toplama çıkarma

• Pozitif iki tam sayının toplamı pozitiftir.
  • (+2) + (+3) = (+5)
  • 1 + 3 = 4 ( Pozitif tam sayılarda + işareti yazılmayabilir.
• Negatif iki tam sayının toplamı negatiftir.
  • (-3) + (-1) = (-4)
  • (-2) + (-4) = (-6)
• Ters işaretli iki tam sayı toplanırken toplananların mutlak değerleri çıkarılır.Sonucun işareti mutlak değeri büyük olan sayının işareti olur.
  • (-3) + (+1) = (-2)
  • (-1) + (+5) = (+4)
• Tam sayılarla çıkarma işleminde eksilen çıkanın ters işaretlisi ile toplanır.
  • (+2) - (-1) işlemi yerine (+2) + (+1) işlemi yapılır.İşlem sonucu +3 dür.
  • (+2) - (+1) işlemi yerine (+2) + (-1) işlemi yapılır.İşlem sonucu +1 dir.
  • (-3) - (-2) işlemi yerine (-3) + (+2) işlemi yapılır.İşlem sonucu -1 dir.
  • (-3) - (+2) işlemi yerine (-3) + (-2) işlemi yapılır.İşlem sonucu -5 dir.

Sayma pulları ile modelleme

• 1.kutuda 1 tane + sayma pulu vardır.Yani işlemin ilk sayısı +1 olur.
• 2.kutuda üçer tane + ve - sayma pulu gelmiştir. + ve - pullar birbirini yok eder,sayıya etkisi yoktur.
• 3.kutuda 3 tane - sayma pulu alınmıştır.Yani işlem çıkarma işlemi , çıkan sayı da -3 dür.
• 4.kutuda işlem sonucunun +4 olduğu anlaşılır.
• Modellenen işlem (+1) - (-3) işlemidir.

Sayı doğrusu ile modelleme

• Üsteki ilk ok ( kırmızı ) +2 , diğeri ise ( mavi ) -4 ü , alttaki ok ise sonucun -2 olduğunu temsil etmektedir.
• Modellenen işlem (+2) + (-4) işlemidir.İşlem sonucu -2 dir.

Toplama işlemi özellikleri

Toplama işleminin 4 özelliği vardır.

1. özellik Toplama işleminin değişme özelliği
   Bir toplama işleminde toplananların yeri değiştiğinde toplam değişmez.a + b = b + a dır.
   8 + 3 işlemin sonucu ile 3 + 8 işleminin sonucu aynı 11 dir.
2. özellik Toplama işleminin birleşme özelliği
   İkiden fazla toplananı olan toplama işleminde istenen iki toplanan ile işleme başlanabilir.
   8 + 9 + 3 işlemine 8 + 9 veya 9 + 3 veya 8 + 3 işlemlerinden birisi ile başlanabilir.Sonuca işleme dahil olmayan üçüncü toplanan dahil edilir.Her durumda sonuç 20 dir.
3. özellik Toplama işleminin ters eleman özelliği
   Toplamları 0 olan sayılar birbirinin toplama işlemine göre tersidir.
   (+5) + (-5) = 0 olduğundan dolayı +5 in toplama işlemine göre tersi -5 , -5 inde toplama işlemine göre tersi +5 dir.
4. özellik Toplama işleminin etkisiz eleman özelliği
   Toplama işleminde etkisiz eleman 0 dır.

Tam sayılarla çarpma işlemi

• Pozitif iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
  (+2) . (+4) = (+8)
• Negatif iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
  (-2) . (-4) = (+8)
• Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
  • (-2) . (+3) = (-6)
  • (+4) . (-3) = (-12)

Çarpma işlemi özellikleri

1. özellik değişme özelliği
   Çarpma işleminde çarpanların yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.a.b = b.a dır.
   8 x 5 = 40 ve 5 x 8 = 40
2. özellik birleşme özelliği
   İkiden fazla çarpan olan çarpma işleminde işleme alınacak olan iki sayını sırası önemli değildir. a.b.c = (a.b).c = a.(b.c) = b.(a.c) dir.
   2 . 3 . 4 işleminde
   • Önce 2.3 = 6 sonra 6.4 = 24 işlemleri yapılabilir.
   • Önce 2.4 = 8 sonra 8.3 = 24 işlemleri yapılabilir.
   • Önce 3.4 = 12 sonra 12.2 = 24 işlemleri yapılabilir.
3. özellik etkisiz eleman özelliği
   Çarpma işleminde etkisiz eleman 1 dir. a.1 = a dır .Bir çarpma işleminde 1 varsa diğer çarpan ile çarpım aynı olur.
   48 . 1 = 48
4. özellik yutan eleman özelliği
   Çarpma işleminde yutan eleman 0'dır ( sıfır ). a.0 = 0
   8.16.259.0.3 işleminde 0 çarpanlardan birisi olduğundan işlem sonucu sıfır.Hiç çarpma işlemi yapılmasına gerek yoktur.
5. özellik çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği
   Bir çarpma işlemi parantez içindeki toplama ve çıkarma işlemindeki sayılarla çarpılıp işleme alınabilir.
   • a.(b + c) = a.b + a.c dir.
   • a.(b - c) = a.b - a.c dir.
   • 5.(7 + 3) = 5.7 + 5.3 olarak yazılabilir.
   • 5.(7 - 3) = 5.7 - 5.3 olarak yazılabilir.
   Dağılma özelliğinin tersi de doğrudur.Yani a.b + a.c şeklindeki bir ifadeyi a.(b +c ) şeklinde yazabilirsiniz.Bu sayede işlemi daha kolay yapabilme imkanınız olaabilir.
   Örnek olarak 59.3 + 41.3 çarpma işlemlerini yapıp toplamak yerine 3.(59 + 41) yazılabilir.Bu durumda parantez içi 100 olur ve çarpma daha kolay olur.
   123.8 - 73.8 işlemi de 8.(123 - 73) şeklinde yazılabilir.Parantez içi sonucu 50 8 ile daha kolay çarpılır.

Tam sayılarla bölme işlemi

• Pozitif iki tam sayının bölümü pozitiftir.
  (+10) ÷ (+2) = (+5)
• Negatif iki tam sayının bölümü pozitiftir.
  (-10) ÷ (-2) = (+5)
• Farklı işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
  • (-8) ÷ (+2) = (-4)
  • (+9) ÷ (-3) = (-3)

Tam sayılarla üslü ifade

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımları üslü ifade ile gösterilebilinir.a.a.a işlemini a³ şeklinde gösterebilir.Burada a sayısı taban , 3 ise kuvvet ismini alır.

• Bir pozitif tam sayının bütün kuvvetleri pozitif tam sayıdır.
• Kuvveti 0 olan , 0 hariç tüm tam sayıların değeri 1 dir. n⁰ = 1 ( n ≠ 0)
• Negatif tam sayıların çift sayılı kuvvetleri pozitiftir.
  (-3)⁴ = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81
• Negatif tam sayıların tek sayılı kuvvetleri negatiftir.
  (-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8

İki problem ve çözümü

Soru: Bir denizaltı her 30 saniyede 1 metre aşağı gidebilmektedir.
Deniz seviyesinin 5 metre altındaki denizaltı 60 saniye boyunca aşağıya gitmiştir.
60 saniye sonunda denizaltı deniz seviyesinin kaç metre altındadır?

• Deniz seviyesnin altı negatif sayı ile gösterilir.
• 60 ÷ 30 işlemi ile denizaltının 2 m daha aşağıya gittiği bulunur.
• (-5) + (-2) ile de denizaltının deniz seviyesine yeni mesafesinin -7 m olduğu bulunur.

Soru: Meryem'in İsa'ya 2400 TL borcu vardır.
Her hafta İsa'ya 200 TL vererek Meryem İsa'dan 800 TL alacaklı olmuştur.
Buna göre Meryem kaç hafta İsa'ya 200'er TL para vermiştir?

• Meryem'in borcu - , alacağı ise + işaretlidir.
• Meryem'in İsa'ya verdiği paraya M dersek (-2400 ) + M = (+800) işlemi kurulur.
• Bilinmeyen toplananı bulmak için toplamdan bilinen toplanan çıkarılır (+800) - (-2400) işlemi kurulur.
• Tam sayılarla çıkarma işleminde eksilen ile çıkanın ters işaretlisi toplanır.Bu yüzden işlem (+800) + (+2400) olur.
• İşlem sonucu olan 3200 Meryem'in İsa'ya verdiği paradır.
• 3200 ÷ 200 işlemi sonucu olan 16 , 200 TL para verilen hafta sayısıdır.